Chacun son tour – Partie 2

Chacun son tour

Partie 2

Dans l’article « La vraie nature du basketball », on est arrivé à la conclusion que l’important pour gagner au basketball était de maximiser l’écart de points. L’attaque n’est pas plus importante que la défense et vice versa. Tout ce qui compte c’est de marquer plus de points que l’adversaire. Une victoire est une victoire, que le score final soit 40-35 ou 120-105, le résultat est le même.

Ce qu’il reste à déterminer, c’est comment marquer plus de points que l’adversaire. Pour répondre à cette question, je vous propose deux expériences de pensée. La première expérience a été détaillée dans l’article précédent et la deuxième, dans celui-ci.

Expérience de pensée #2 - Égalité d'opportunités

Dans cette deuxième expérience, on reprend le même jeu modifié et les mêmes équipes que la dernière fois. L’équipe A commence en attaque et l’équipe B, en défense. Mais, cette fois, l’équipe A reste en attaque (et l’équipe B, en défense) pour un nombre d’opportunités de marquer déterminé. Une opportunité de marquer commence quand l’équipe en défense remet le ballon à l’attaque (« check » le ballon) et se termine quand l’équipe en attaque fait un panier ou quand l’équipe en défense prend le contrôle du ballon. Puis c’est au tour de l’équipe B d’être en attaque (et l’équipe A, en défense) pour le même nombre d’opportunités de marquer.

Pour simplifier l’expérience, on suppose encore que tous les paniers ont une valeur de 2 points, qu’il n’y a pas de limite de temps pour prendre un lancer (« shot clock ») et que les joueurs ne commettent jamais de faute.

Est-ce que la stratégie doit être différente? Si oui, quels ajustements doivent être faits?

Commençons à jouer pour le découvrir. L’équipe A, Albert, Alfred et Alphonse, joue contre l’équipe B, Bérangère, Bernadette et Berthe. Les deux équipes ont chacune 10 opportunités de marquer en attaque.

Match #1

Dans le premier match, Les deux équipes ne sont pas certaines de la stratégie à adopter et prennent toujours 20 secondes avant de prendre un lancer. Les deux adversaires sont de forces semblables et chacune prend 10 lancers et en réussit 5. Le résultat est un match nul de 10-10.

Équipe A
Fréquence de lancers Nombre de lancers Taux de réussite
1 / 20 s 10 50.0%
10 points
Équipe B
Fréquence de lancers Nombre de lancers Taux de réussite
1 / 20 s 10 50.0%
10 points
Les deux équipes croient qu’elles peuvent faire mieux et décident de jouer un autre match.

Match #2

Albert se souvient que, la dernière fois, une fréquence de lancer plus rapide permettait de marquer plus de points. Il propose de changer de stratégie et de prendre un lancer chaque 15 secondes.

L’équipe B ne sait pas vraiment quel ajustement apporter et décide de ne pas changer sa stratégie.
Équipe A
Fréquence de lancers Nombre de lancers Taux de réussite
1 / 15 s 10 50.0%
10 points
Équipe B
Fréquence de lancers Nombre de lancers Taux de réussite
1 / 20 s 10 50.0%
10 points

Le résultat est le même. Même si l’équipe A y est arrivé plus vite, chaque équipe prend 10 lancers et en réussit 5. C’est encore l’égalité 10-10. Les deux équipes sont très compétitives et décident de jouer un autre match.

Match #3

Alfred constate que jouer plus rapidement n’a pas fonctionner. Il propose donc de jouer plus lentement. L’équipe accepte sa suggestion et change sa stratégie.

L’équipe B analyse les résultats des 2 premiers matchs. Bérangère fait remarquer à ses coéquipières que l’équipe A a joué plus rapidement qu’eux dans le dernier match mais qu’elle a quand même pris seulement 10 lancers, exactement le même nombre qu’eux.

Bernadette leur rappelle que le nombre de points marqués dépend du nombre de lancers et du taux de réussite.

$\bbox[10px,border:2px solid #000000]{
\mathsf{Points} \propto \mathsf{Nombre\ de\ lancers} \cdot \mathsf{Taux\ de\ reussite}}$

Puisque cette fois ce n’est pas la durée du temps de jeu qui est fixe, la fréquence de lancer n’aura pas d’impact sur le nombre de lancers. Comme c’est le nombre d’opportunités de marquer qui est fixe, Berthe conclu que pour augmenter son nombre total de lancers, l’équipe doit augmenter son nombre de lancer par opportunité de marquer. Si elle ne réussit pas à marquer sur son premier lancer, elle doit se donner une chance supplémentaire de lancer. Elle suggère de se concentrer sur les rebonds offensifs et l’équipe adopte cette stratégie.

Équipe A
Fréquence de lancers Nombre de lancers Taux de réussite
1 / 24 s 10 60.0%
12 points
Équipe B
Rebonds offensifs Nombre de lancers Taux de réussite
2 12 50.0%
12 points

L’équipe A prend toujours le même nombre de lancer, mais, en jouant plus lentement, réussit à augmenter son taux de réussite à 60%. Ils marquent 12 points cette fois.

L’équipe B se concentre sur les rebonds offensifs. Elle a toujours le même taux de réussite, mais en récupérant 2 rebonds offensifs, elle peut prendre 2 lancers de plus. Elles marquent aussi 12 points.

Puisqu’il n’y a toujours pas de gagnant, il faut jouer un autre match.

Match #4

Alphonse est très encouragé par la stratégie utilisée dans le troisième match. Il soutient que si jouer lentement a bien fonctionné, jouer très lentement fonctionnera surement encore mieux.

Berthe félicite l’équipe d’avoir trouvé une façon d’augmenter son nombre de lancers. Elle remarque cependant qu’elles n’ont pas obtenue la victoire car l’équipe A a augmenté son taux de réussite.

Bernadette ne sait pas comment diminuer le taux de réussite de l’équipe A. Mais, elle croit que si augmenter le nombre total de lancers de leur équipe les a aidés, alors diminuer le nombre total de lancers de l’adversaire devrait aussi être bénéfique. Bérangère est d’accord et propose de se concentrer à causer des revirements en défense.

Équipe A
Revirements Nombre de lancers Taux de réussite
2 8 75.0%
12 points
Équipe B
Rebonds offensifs Nombre de lancers Taux de réussite
2 12 50.0%
12 points

La stratégie de l’équipe A fonctionne encore, elle réussit 75% de ses lancers. Mais, puisque 2 de ses opportunités de marquer se terminent par des revirements, elle ne prend que 8 lancers et ne marque que 12 points encore une fois.

Malgré un taux de réussite beaucoup plus bas de 50% et grâce à un plus grand nombre de lancers, l’équipe B marque elle aussi 12 points.

Personnellement, je commence à être un peu tanné des compétitions imaginaires qui se terminent toujours par un match nul. Je vais essayer de rendre les choses plus intéressantes en comptant les lancers de 3-points pour le dernier match.

Match #5

L’équipe A est vraiment fière de sa performance du match précédent et n’apporte aucun changement.

L’équipe B prend le temps de réfléchir à l’impact de l’ajout des lancers de 3-points. Puisque la valeur d’un panier n’est maintenant plus toujours la même, le nombre de points marqués dépendra de trois facteurs.

$$\bbox[10px,border:2px solid #000000]{\begin{array}{rcl}
\mathsf{Points} & \propto & \mathsf{Nombre\ de\ lancers} \cdot \mathsf{Taux\ de\ reussite} \cdot \mathsf{Valeur\ de\ panier}\end{array}}$$

Les joueuses débattent de la différence entre la valeur des paniers de 2-points et les paniers de 3-points. Bérangère croit qu’un panier de 3-points vaut 50% de plus qu’un panier de 2-points. Bernadette croit plutôt qu’un panier de 2-points vaut 33% de moins qu’un panier de 3-points. Berthe réussi cependant à mettre tout le monde d’accord sur le fait qu’un panier de 3-points vaut très exactement 1 point de plus qu’un panier de 2-points et vice versa. L’équipe B aime faire plus de points et décide de privilégier les lancers de 3-points.

Équipe A
Revirements
2PTS
Nombre de lancers
2PTS
Taux de réussite
3PTS
Nombre de lancers
3PTS
Taux de réussite
2 8 75.0% 0 -
12 points
Équipe B
Rebonds
offensifs
2PTS
Nombre de lancers
2PTS
Taux de réussite
3PTS
Nombre de lancers
3PTS
Taux de réussite
5 0 - 15 33.3%
15 points

L’équipe A prend seulement des lancers de 2-points et le résultat est le même : 2 revirements – 8 lancers – 75% de réussite – 6 paniers – 12 points.

L’équipe B ne prend que des lancers de 3-points. Elle récupère 5 rebonds offensifs et malgré un taux de réussite de seulement 33.3%, elle réussit 5 lancers de 3-points sur 15 pour un total de 15 points.

On a une équipe gagnante. On peut enfin arrêter l’expérience de pensée et analyser les résultats.

Analyse de l’expérience

Quelles conclusions peut-on tirer de cette expérience? Analysons les résultats des matchs.

Possession

La première chose qu’il faut comprendre, c’est que, dans cette expérience, les deux équipes ont le même nombre d’opportunités de marquer. Contrairement à l’expérience précédente, la fréquence à laquelle les équipes prennent leurs lancers n’a aucun impact sur le nombre total des lancers qu’elles peuvent prendre. Peu importe si elles lancent plus rapidement ou plus lentement, le nombre d’opportunités de marquer reste toujours le même.

Dans le domaine des statistiques du basketball, une opportunité de marquer s’appelle une possession. Une possession commence quand une équipe prend le contrôle du ballon et se termine quand l’équipe adverse prend contrôle du ballon à la suite d’un revirement (violation, faute offensive ou perte/vol de ballon), un rebond défensif, un panier réussi ou la fin d’une période de jeu. À partir de maintenant, on parlera de possession plutôt que d’opportunité de marquer.

Puisque, dans cette expérience de pensée, le nombre de possession est le même pour chaque équipe, l’objectif doit être de tirer le maximum de chaque possession, d’être le plus efficace possible.

Efficacité

Comment faire pour maximiser l’efficacité d’une possession? Il faut maximiser l’espérance mathématique des points marqués de la possession.

C’est quoi ça l’espérance mathématique? C’est simple, c’est « la somme des produits des valeurs d’une variable aléatoire par leur probabilité ». En français, ça veut dire que c’est le résultat auquel on peut s’attendre, en moyenne, à long terme, d’une action dont le résultat est incertain. $$\bbox[10px,border:2px solid #000000]{\begin{array}{rcl} \mathsf{Esperance\ mathematique} & = & \mathsf{Somme} \left(\mathsf{Probabilite} \times \mathsf{Valeur}\right) \\ \mathbb{E}& = & \left(\mathsf{P_1} \times \mathsf{V_1}\right) + \left(\mathsf{P_2} \times \mathsf{V_2}\right) + \cdots + \left(\mathsf{P_n} \times \mathsf{V_n}\right) \\ \mathbb{E}& = & \sum\limits_{i=1}^n{\mathsf{P_i} \times \mathsf{V_i}} \end{array}}$$

Au basket, l’action qui nous intéresse, c’est le lancer. Il y a deux résultats possibles et incertains à un lancer : réussi ou raté. On peut donc calculer l’espérance mathématique d’un lancer avec la formule suivante :

$$\bbox[10px,border:2px solid #000000]{
\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}\left(\mathsf{lancer}\right)&
= & \left(\mathsf{P_{reussi}} \times \mathsf{V_{reussi}}\right) + \left(\mathsf{P_{rate}} \times \mathsf{V_{rate}}\right) \\
&
= & \left(\mathsf{P_{reussi}} \times \mathsf{V_{reussi}}\right) + \left(\mathsf{P_{rate}} \times 0\right)
\\
&
= & \left(\mathsf{P_{reussi}} \times \mathsf{V_{reussi}}\right) + 0\\
&
= &\mathsf{P_{reussi}} \times \mathsf{V_{reussi}}
\end{array}}$$

Par exemple, un joueur qui attaque le panier pour un lay-up et qui a 50% de chance de réussir son lancer (et 50% de chance de le rater) a une espérance mathématique de 1 point.

Résultat Probabilité Valeur 𝔼
Lancer réussi 50.0% 2 1
Lancer raté 50.0% 0 0

On peut calculer l’espérance mathématique d’un autre joueur qui prend un lancer de 3-points et qui a 35% de chance de réussir en utilisant la formule :

$$\bbox[10px,border:2px solid #000000]{
\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}\left(\mathsf{lancer}\right)&
= &\mathsf{P_{reussi}} \times \mathsf{V_{reussi}}\\
&
= & {35\%} \times 3 
\\
&
= & 1.05
\end{array}}$$

Évidemment, un lancer spécifique ne marquera jamais 1.05 points. Il marquera 3 points dans 35% des cas et aucun point dans l’autre 65% des cas. L’espérance mathématique signifie que, en moyenne, à long terme, en prenant ce type de lancer, on peut s’attendre à marquer 1.05 points par lancer.

Maintenant qu’on sait comment calculer l’espérance mathématique d’un lancer, on peut s’intéresser à l’espérance mathématique d’une possession. Puisqu’une possession est composée d’un ensemble de 0, 1 ou plusieurs lancers, l’espérance mathématique d’une possession peut être défini comme la somme de l’espérance ses lancers.

$\bbox[10px,border:2px solid #000000]{\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}\left(\mathsf{possession}\right) &
= &
\mathbb{E}\left(\mathsf{lancer_1}\right) + \mathbb{E}\left(\mathsf{lancer_2}\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(\mathsf{lancer_n}\right)
\\
&
= &
\left(\mathsf{P_{reussi_1}} \times \mathsf{V_{reussi_1}}\right) + \left(\mathsf{P_{reussi_2}} \times \mathsf{V_{reussi_2}}\right) + \cdots + \left(\mathsf{P_{reussi_n}} \times \mathsf{V_{reussi_n}}\right)
\\
&
= &
\sum\limits_{i=1}^n{\mathsf{P_{reussi_i}} \times \mathsf{V_{reussi_i}}}
\end{array}}$

Techniquement, c’est un peu plus compliqué que ça. Il faudrait tenir compte de la probabilité de revirement, de rebonds offensifs et de lancer raté (opportunité de rebond offensif). Mais c’est déjà assez compliqué comme ça et ces facteurs supplémentaires n’auraient aucun impact sur les conclusions qu’on pourrait tirer.

Selon cette formule, l’efficacité d’une possession dépend de trois facteurs :

  1. Le nombre de lancers
  2. La probabilité de réussite des lancers
  3. La valeur des lancers
Nombre de lancers

Puisque l’espérance mathématique d’une possession est la somme de l’espérance mathématique de ses lancers, chaque lancer pris dans une possession augmente son espérance mathématique et donc son efficacité.

Une possession peut se terminer par un revirement, la fin d’une période de jeu ou un lancer. Il est impossible de marquer des points par un revirement ou par la fin d’une période. Quand une possession se termine de cette manière, l’équipe en attaque perd une chance de lancer et d’augmenter l’efficacité de cette possession.

En revanche, quand une possession se termine par un lancer, n’importe quel lancer, même le pire lancer du monde, l’équipe a une chance de marquer des points.

Quand le lancer est réussi, l’équipe en attaque marque des points et la possession se termine avec succès.

Quand le lancer est raté, il y a une opportunité de rebond. Si l’adversaire récupère le rebond défensif, la possession prend fin. L’équipe en attaque ne marque pas de point, mais elle a quand même eu une chance d’en marquer. Si c’est l’équipe en attaque qui récupère le rebond offensif, la possession se poursuit. L’équipe a une autre chance de lancer et d’augmenter son efficacité.

Pour augmenter l’efficacité d’une possession, il faut terminer la possession par un lancer, jamais par un revirement ou une fin de période. Il faut aussi prolonger la possession en récupérant des rebonds offensifs jusqu’à ce que la possession se termine avec succès. Bien sûr, il n’est pas possible d’éviter complètement les revirements et de récupérer tous les rebonds offensifs, mais chaque fois qu’on réussit, on augmente son efficacité.

La probabilité de réussite des lancers

Plus la probabilité de de réussite est élevé, plus son espérance mathématique est élevé.

Si on a le choix, il est préférable de prendre des lancers comme ceux-ci, plutôt qu’un lancer dos au panier, par dessus la tête, sans attraper le ballon avant. Le nombre de points marqués pour un lancer réussi reste le même, mais les chances de réussite sont pas mal plus élevés pour Boban que pour Trevor.

La valeur des lancers

Si je vous propose les deux paris suivants, lequel devriez vous accepter?

  1. J’ouvre le dictionnaire le Petit Larousse Illustré 2020 (oui, oui, ça existe encore des dictionnaires papier) à une page au hasard et je choisi un mot au hasard, si ce mot contient cinquante-douze lettre vous perdez, sinon vous gagnez. Le coût de pari est de 1\$ et vous pouvez gagnez 2\$.
  2. Je lance un dé standard à six faces, si le dé tombe sur 1, 2, 3, 4 ou 5 vous perdez, s’il tombe sur 6 vous gagnez. Le coût du pari est de 1\$ et vous pouvez gagnez 250 000 000\$.

Dans le premier pari vos chances de gagner sont de 100% (cinquante-douze, même si ça sonne bien, ce n’est pas un vrai nombre), alors que dans le deuxième, elles ne sont que de 16.7%.

Devriez-vous accepter le premier pari? Fermez les yeux et imaginez ce que vous pourriez faire avec votre profit de 1\$ (Prenez votre temps, je vais vous attendre).

Il se peut que certains d’entre vous préfèrent  vivre plus dangereusement et risquer de perdre 1\$ pour avoir la chance d’en gagner 249 999 999\$. C’est votre choix, je respecte ça.

Au basketball aussi, il n’est pas suffisant de considérer seulement les chances ce réussite d’un lancer, il faut aussi considérer sa valeur.

Supposons qu’un joueur de la NBA qui se positionne dans le coin pour recevoir une passe quand un coéquipier attaque le panier. Il doit bien choisir son emplacement. S’il se place à 22 pieds du panier, son pourcentage de réussite est de 35% et la valeur de son lancer est de 3 points, à 21 pieds, son pourcentage de réussite augmente à 40%, mais la valeur de son lancer baisse à 2 points.

À 22 pieds l’espérance mathématique est $35\% \times 3 \mathsf{\ points} = 1.05 \mathsf{\ points}$, à 21 pieds elle n’est plus que de $40\% \times 2 \mathsf{\ points} = 0.8 \mathsf{\ points}$. À moins de pouvoir réussir plus de 52.5% des ses lancers à 21 pieds contre 35% à 22 pieds, ce joueur ne devrait jamais se positionner juste à l’intérieur de la ligne de 3-points. Et si c’était le cas, je lui suggérerait plutôt de trouver pourquoi son pourcentage baisse aussi dramatiquement quand il recule de 12 pouces et de régler le problème. 

Les Suns de Phoenix de 2004-05

Comme les Nuggets de Denver en 1990-91, les Suns de Phoenix de 2004-2005 ont eu la meilleur attaque et la pire défense de la ligue.

Denver 1991 Phoenix 2005
PTS/G 119.9 (1er/27) 110.4 (1er/30)
Opp. PTS/G 130.8 (27e/27) 103.3 (30e/30)
PACE 113.7 (1er/27) 95.9 (1er/30)
W-L 20-62 (27e/27) 62-20 (1er/30)

Pourtant, les Suns ont cumulé la meilleure fiche de la ligue avec 62 victoires. Tout le contraire des Nuggets qui ont subi la défaite 62 fois, la pire fiche de la ligue. En regardant, le nombre de points marqués par match, on pourrait croire que les Nuggets étaient meilleurs en attaque que les Suns. Après tout, ils ont marqué 9.5 points de plus par match, mais ce serait oublier de prendre en considération le rythme de jeu des équipes (PACE). Les Nuggets ont utilisé 113.7 possessions par 48 minutes alors que les Suns en ont utilisé seulement 95.9. Pour comparer les deux équipes, il faut utiliser une mesure qui tient compte de cette différence. Le Offensive Rating (OFFRTG) est une mesure du nombre de points marqués par une équipe par 100 possessions.

Denver 1991 Phoenix 2005
PTS/G 119.9 (1er/27) 110.4 (1er/30)
Opp. PTS/G 130.8 (27e/27) 103.3 (30e/30)
PACE 113.7 (1er/27) 95.9 (1er/30)
W-L 20-62 (27e/27) 62-20 (1er/30)
OFFRTG 105.2 (21e/27) 114.5 (1er/30)

En comparant les Nuggets et les Suns selon leur efficacité offensive, on arrive à la conclusion inverse. À chaque 100 possessions, les Suns ont marqué 114.5 points, 9.3 points de plus que les Nuggets pour le même nombre de possessions.

Mais le OFF RTG, nous permet aussi de comparer la force de l’attaque des Suns et des Nuggets par rapport aux autres équipes de la ligue au cours de la même saison. Les Suns ont été la meilleure attaque de la ligue, mais les Nuggets se retrouvent au 21e rang sur 27 équipes. Les Nuggets, malgré le nombre élevé de point qu’ils ont marqué, étaient une des pires équipes de la NBA en termes d’efficacité offensive.

Puisque dans un même match les deux équipes bénéficient du même nombre de possessions, c’est en ayant une meilleure efficacité qu’une équipe peut avoir l’avantage sur son adversaire. (En fait, il est théoriquement possible qu’une équipe ait 1 possession de plus que son adversaire à chaque période de jeu. Dans un match de 4 quarts, une équipe chanceuse pourrait avoir 4 possessions de plus que l’autre. En pratique, à long terme, ces différences finissent par s’annuler et on peut considérer que le nombre de possessions est le même).

La raison pour laquelle les Nuggets ont eu une fiche de 20-62, n’est pas qu’ils avaient une attaque exceptionnelle qui ne pouvait pas compenser pour une défense trop faible. Mais bien, qu’en termes d’efficacité, les Nuggets avaient la pire défense de la ligue, en plus d’avoir une des pires attaques. En 1990-91, le OFFRTG et le DEFRTG moyen de la ligue était de 107.9. Les Nuggets avait une efficacité défensive et offensive inférieures à la moyenne; de 6.8 points par 100 possessions en défense et de 2.7 points par 100 possessions en attaque.

Les Suns, quant à eux, ont terminé au 1er rang de la ligue pour l’efficacité offensive, 8.4 points par 100 possessions de plus que la moyenne de la ligue. En défense, ils se sont retrouvés au 17e rang, seulement 1 point par 100 possessions derrière la moyenne de la ligue.

Dans un sport comme le basketball, où les 2 équipes ont le même nombre de possessions, l’équipe qui réussi à tirer le maximum de ses possessions obtient la victoire.

Chacun son tour – Partie 2

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